Teoria de l'estabilitat

En matemàtiques, la teoria de l'estabilitat aborda l'estabilitat de les solucions d'equacions diferencials i de les trajectòries dels sistemes dinàmics sota petites pertorbacions de les condicions inicials. L'equació de calor, per exemple, és una equació diferencial parcial estable perquè petites pertorbacions de les dades inicials condueixen a petites variacions de temperatura en un moment posterior com a resultat del principi de màxim. En equacions diferencials parcials es poden mesurar les distàncies entre funcions utilitzant les normes L ^p o la norma sup, mentre que en geometria diferencial es pot mesurar la distància entre espais utilitzant la distància de Gromov-Hausdorff.^[2]

En els sistemes dinàmics, una òrbita s'anomena estable de Lyapunov si l'òrbita cap endavant de qualsevol punt es troba en un barri prou petit o es manté en un veïnat petit (però potser més gran). S'han desenvolupat diversos criteris per demostrar l'estabilitat o inestabilitat d'una òrbita. En circumstàncies favorables, la qüestió es pot reduir a un problema ben estudiat que implica valors propis de matrius. Un mètode més general implica funcions de Lyapunov. A la pràctica, s'aplica qualsevol dels diferents criteris d'estabilitat.^[3]